せんせいシード

かけ算の導入は「意味」から。
たし算で理解する最初の一歩

お団子の問題で「同じ数のたし算」を可視化する

かけ算の1時間目は、スクリーンに青い紙を映して、こう切り出しました。「この紙の後ろに、くしにささったお団子が隠れています。全部で何個でしょう？」。何も見えていないのですから、わかるはずがありません。

そこで「どんな情報が欲しい？」と投げかけます。すると子どもたちからは、「くしの数」「1本のくしにささった団子の数」の2つが必要だという声があがりました。そこで、くしの数が4本、1本にささった団子が3個であることを見せます。子どもたちは、3＋3＋3＋3をして、答えが12個であることを求めました。

ここで初めて、かけ算という新しい表現を教えます。かけ算とは同じ数のたし算を簡単にしたもので、3＋3＋3＋3を、3（1つ分）×4（いくつ分）と表します。3が4つあるという意味です。

すぐに答えを言える子もいます。そういう子がいると、まだ九九を唱えられない子は不安になります。ですから、こう伝えました。「大人や先に知っている子がすぐに答えを出せるのは、歌を覚えるようなものだからだよ。まだ言えなくても全く気にしなくていい。絶対に覚えられるから」。暗唱以上に大切なのは、この導入で扱った意味の方です。

 ▲ 9月12日の板書。「おだんごはいくつ？」から、3＋3＋3＋3を3×4と表すところへ

九九を知らなくても解ける！
「かけ算」の仕組みを活かした思考力の育て方

9×28に挑戦！ 筆算に頼らない「意味」の理解 

ある日、授業で少し時間が余ったので、子どもたちに「9×28」を考えてもらいました。2年生はまだ、2の段と5の段しか学習していません。子どもたちの反応は、3つに分かれました。

・何も手をつけられずに止まっている子

・どこかで学習した筆算をして、早々に答えを出している子

・これまで学習したかけ算の意味に立ち返って考えている子

私が最も問題だと考えているのは、2つ目です。この子たちはすぐに答えを出して満足していました。そこで机を回りながら、「なんでそれで答えが出るの？」と尋ねてみます。しかし、それに答えられた子は一人もいませんでした。

やっている意味はわからないけれど、筆算の手順だけを覚えて、ただ処理しているだけなのでしょう。しかもそれによって「自分はほかの子より難しいことを知っている、こんなの楽勝」という誤った優越感に浸り、「なぜそうなるの？」という気持ちが持てなくなる。これが大きな問題だと思っています。

一方、3つ目の子たちは地道です。9×28の意味に立ち返って、9を28回たしていました。交換法則を学習していたので、9×28＝28×9として、28を9回たし、少し楽にしようとしている子もいました。

そこで私は、●を28列並べた図を黒板に示し、「今までならったかけ算（2の段・5の段）で、わかるところはありませんか？」と投げかけました。すると、5列ずつのまとまりで区切っていけば、9×5が5つと、9×2が1つ、9×1が1つに分けられることが見えてきます。あとは、それぞれの答えをたせばよいのです。

45＋45＋45＋45＋45＋18＋9＝252

▲ 2の段と5の段しか知らなくても、9×28はこう分ければ解ける

これを見てAさんが、「×10だったらもっと簡単」と言います。確かに9×10なら、交換法則で10×9となり、10が9個で90だとすぐにわかります。10のかけ算はまだ学習していませんが、意味を考えれば簡単なことです。

この問題自体は3年生の学習内容ですから、完璧に理解してほしいという意図はありません。2の段と5の段しか学習していない2年生であっても、既習だけで解決できます。私が見たかったのは、「9を28回たす」というような、粘り強い試行の方でした。

クラス全員でつくる「九九」の授業：
発想がリレーする瞬間

単元が進み、いよいよ3の段に入ります。2の段と5の段とは違い、3の段は、これまで学習してきたことをもとに、自分たちでつくっていくことが目的です。子どもたちからは、想像以上にいろいろなアイデアが、出てきました。

 ▲ 11月6日の板書。「3の段をつくろう」。

子どもたちの発想が、次々と書きたされていった（児童名は加工で非表示）

まずは3×2からです。ここだけで意見が分かれました。Bさんは、かけ算の意味通りに「3が2つ」と考えました。それに対してCさんは、「前の答えに３をたす」と考えました。この2つは、3×2のときだけ、たまたま式が同じ形になります。

次の3×3になると、

3×3＝3＋3＋3（Bさん）　／　3×3＝6＋3（Cさん）

となり、二人の考えの違いがはっきりします。さらに3×4では、3×4＝4×3＝4＋4＋4という、交換法則を使った考え方が、出されました。「なんでそんなことをわざわざするの？」と聞くと、「3×9のときに、3を9回たすのは大変だから、9×3にして9を3回たす」。先を見通して、発想しているのです。

この段階で、子どもたちの手元には「かけ算の意味」「前の答えに3をたす」「交換法則」という3つのやり方がそろいました。そして子どもたちは、さらに新しい方法を生み出したいと考えはじめます。

未完成の発想を共有する：
DさんとEさんのバトン

おもしろかったのは、ここからです。3×5を考えているとき、Dさんがノートに、かける数の5を「2と3」に分けようとしていました。ただ、その先をどうしようかと悩んで、手が止まっています。

私は、これはとてもすばらしい発想だと思ったので、悩んでいるところまでを、みんなの前で話してもらいました。すると、「最高！」「おもしろい」という声があがります。そしてEさんが、「分けた2と3に、それぞれ3をかけあわせてたせばよい」と発表してくれました。

3×5＝3×2＋3×3＝6＋9＝15

    

▲ 左：Dさんがノートに書いていた考えを、板書で全体に共有したもの。

かける数の5を2と3に分けたところで、手が止まっていた。　

右：分けた形を図でも確かめる。

私がすばらしいと思ったのは、Dさんが未完成のままの自分の発想を話したことです。正解だけがすべてではない、というのはまさにこういうことです。うまくいかないからと内に秘めていては、その先の発展がありません。話したからこそ、周りがきちんとバトンを受け取り、Eさんが形にしてくれたのです。こうしたやりとりこそ、クラス全員がいないとできない授業だと私は考えています。

「かけられる数も分けられるのでは？」
予想が全部の段に広がる

この先も、子どもたちはすごかったです。続いてFさんが、こう言います。「まだやってはないんだけど、Dさんの（かける数を分ける）ができるなら、かけられる数を分けることもできるんじゃないの？」確信はないけれど、誰かの発想から予想してみる。これもとてもすばらしい態度です。

実際に1の段と2の段で確かめてみると、

1の段＋2の段＝3の段

になっていそうです。図でも確認してみると、今度は横で区切れば、確かに1の段と2の段をたすと3の段になることがわかってきました。

    ▲ 左：1の段と2の段をたすと、3の段になっている　

右：1×6と2×6を合わせると3×6。図でも確かめた

これでも終わりません。数名の子が「だったら、ほかの段もできるんじゃないの？」と予想します。

2の段＋2の段＝4の段／1の段＋3の段＝4の段／1の段＋5の段＝6の段／

2の段＋5の段＝7の段 など

もう、これ以降すべての段を、自分たちでつくっていけそうです。自主学習でも、ほかの段にあてはめてみたものが多く出されました。これが暗記ではなく、算数を創るということです。

 

▲ 「2の段の答えと3の段の答えをたしたら、5の段になるの？」自分で確かめてきた自主学習

Dさんの自信のないアイデアから始まり、Eさんをはじめみんなでそれを完成させ、さらにFさんがそこから違うアイデアを生み出し、それをほかでもあてはめられないかと発展させていく。子どもたちが仲間の意見をつなげて算数をつくっていく姿に、私は感動しました。

9 の段では、つくり方が7通り出た

こうして、段を段を重ねていくごとに、子どもたちが使える武器（既習）は増えていきます。9の段を扱ったときには、つくり方だけで7通りが出そろいました。

 ▲ 「9の段をつくろう」。すでに出した答えどうしの関係を使って、9×7を求めていく

さらに、9の段では「答えが9ずつ増えている」「答えの十の位と一の位を入れ替えたものどうしの組がある」「十の位と一の位の和がいつも9になる」「十の位が1増えると一の位が1減る」「一の位が1の段の逆になっている」と、きまりもたくさん見つかりました。

まとめ：九九を「つくる」経験が、
算数への自信を育てる

念のために書いておきますが、私は九九の暗唱を否定しているわけではありません。使いながら覚えていくことは大切です。

けれど、最も大事なのは、既習だけを使って、自分たちの手でつくっていくことだと思っています。意味に戻ることさえできれば、たとえ九九を忘れてしまっても、自分でつくり直すことができます。九九の範囲を超えた計算にも手が出せるようになります。

新しい段に入るときには、教える前に「この段は自分たちでつくれるかな？」と投げかけてみてください。子どもたちが、九九を「つくる」側に立ったとき、かけ算の授業は暗記の時間から、考える時間に変わっていきます。